grafica del area del triangulo formado por dos vectores

Dados dos vectores y que forman un triángulo, siendo estos dos de sus lados como se muestra en la imagen, la fórmula para obtener el área del triángulo es:

 

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos , y

 

El triángulo está formado por lo vectores

Calculamos el producto vectorial

Obtenemos el módulo del vector resultante

Usamos la fórmula para obtener el área

 

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

grafica del area del paralelogramo usando producto vectorial

 

Ejemplo:

Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y .

 

Primero calculamos el producto vectorial

Obtenemos el módulo del vector resultante como en la fórmula para obtener el área

 

Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a  del producto mixto, en valor absoluto.

 

Ejemplo:

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos , , y .

 

El tetraedro está formado por lo vectores

Usamos la fórmula del volumen

Calculamos primero el producto mixto

El volumen es

 

Volumen del paralelepípedo

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

 

Ejemplo:

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

 

Calculamos el producto mixto

 

Distancia entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos existen dos maneras, dependiendo los datos que tengas. Los dos casos son:

 

1 Conoces la ecuación de uno de los planos, y un punto del otro

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro plano , usando la fórmula

 

2 Conoces las ecuaciones de los dos planos

También se puede calcular de esta otra forma:

Si lo planos son paralelos entonces sus ecuaciones son de la forma

Y su distancia estará dada por

De manera equivalente, si las ecuaciones no son de la forma mencionada anteriormente, y por el contrario tengo que

Para que sean paralelos se debe cumplir que

Luego multiplico una de las dos ecuaciones de tal manera que los dos planos expresen el mismo vector normal en sus ecuaciones, es decir, que tengan la forma

De este modo ya puedo aplicar la fórmula de la distancia.

 

Ejemplo:

Calcular la distancia entre los planos:

.

 

Primero verificamos que sean paralelos. Para esto tomamos el cociente del coeficiente de de entre , y este debe ser igual al cociente de los coeficientes de , y de . Sin embargo debe ser diferente el cociente de los términos independientes, pues si no, los planos no serían paralelos, sino iguales.

Los dos planos son paralelos.

Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.

Usamos la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗