Una desigualdad fraccionaria es una desigualdad en la que la incognita está tanto en el denominador como en el numerador. En general las desigualdades fraccionarias tienen alguna de las siguientes formas

 

1

 

2

 

3

 

4

 

Nos enfocaremos en explicar los primeros dos casos sobre como proceder. Los pasos son sencillos, lo que debemos es encontrar los valores de en el numerador y el denominador para los cuales se cumple la desigualdad, normalmente terminamos tomandao intersecciones y uniones de los intervalos.

 

Primer caso importante

 

Empezaremos con .

 

1 Primero debemos encontrar los valores para los cuales , esto lo hacemos encontrar los valores de para los cuales el numerador es igual a cero, esto es, resolvemos . Denotaremos el conjunto de valores para los cuales como .

 

2 Tenemos que , como ya encontramos los valores cuando es igual a cero, ahora solo nos enfocaremos en .

 

Tenemos dos casos en los cuales , recordemos que esto sucede siempre que el denominador y tengan signos opuestos.Así, nuestro primer caso es y . Digamos que el conjunto de valores para los cuales es , y el conjunto de valores para los cuales como , entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes y es la intersección . Ojo, notemos que tomamos y no ya que es el denominador y no puede ser igual a cero.

 

Nuestro segundo caso es y . Digamos que el conjunto de valores para los cuales es , y el conjunto de valores para los cuales como , entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes y es la intersección . Ojo, notemos que tomamos y no ya que es el denominador y no puede ser igual a cero.

 

3 El conjunto solución es la unión de los conjuntos , y , esto es

 

 

Para el caso es similar, pero solo nos enfocamos en el segundo y tercer punto.

 

Segundo caso importante

 

Ahora analicemos el caso cuando

 

1 Primero debemos encontrar los valores para los cuales , esto lo hacemos encontrar los valores de paara los cuales el numerador es igual a cero, esto es, resolvemos . Denotaremos el conjunto de valores para los cuales como .

 

2 Tenemos que , como ya encontramos los valores cuando es igual a cero, ahora solo nos enfocaremos en .

 

Tenemos dos casos en los cuales , recordemos que esto sucede siempre que el denominador y tengan signos iguales. Así, nuestro primer caso es y . Digamos que el conjunto de valores para los cuales es , y el conjunto de valores para los cuales como , entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes y es la intersección . Ojo, notemos que tomamos y no ya que es el denominador y no puede ser igual a cero.

 

Nuestro segundo caso es y . Digamos que el conjunto de valores para los cuales es , y el conjunto de valores para los cuales como , entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes y es la intersección . Ojo, notemos que tomamos y no ya que es el denominador y no puede ser igual a cero.

 

3 El conjunto solución es la unión de los conjuntos , y , esto es

 

 

Para el caso es similar, pero solo nos enfocamos en el segundo y tercer punto.

 

Ejemplos

 

Normalmente es esto ejercicios y son monomios o producto de monomios. Analicemos los siguientes ejemplos para entender a fondo el procedimiento:

 

1 Resuelve la siguiente inecuación

 

 

En este caso y . Empecemos analizando cuando

 

 

Para esto necesitamos encontrar cuándo , o bien , es claro que esto sucede cuando . Así, nuestro primer conjunto es . Ahora procedaos a analizando cuando

 

 

Ya sabemos que para esto tenemos dos casos, que es cuando el denominador y el numerador tienen signos opuestos. Empecemos por el primer caso

 

1 y .

 

Ya sabemos que esto es equivalente a y . De la primer desigualdad tenemos

 

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . De la segunda tenemos

 

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

 

2 y .

 

Ya sabemos que esto es equivalente a y . De la primer desigualdad tenemos

 

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . De la segunda tenemos

 

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

 

Por últimos, tenemos que la solución general de nuestra inecuación es la unión de nuestras tres soluciones , y , esto es

 

 


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2 Resuelve la siguiente inecuación

 

 

En este caso y . Notemos que como aquí es estrictamente mayor, no nos importa cuando la fracción es igual a cero, por lo tanto nos brincamos a analizar directamente la desigualdad. Para esto tenemos dos casos, que es cuando tanto numerados como denominador tienen el mismo signo. Empecemos por el primer caso

 

1 y .

 

Ya sabemos que esto es equivalente a y . De la primer desigualdad tenemos

 

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . De la segunda tenemos

 

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

 

2 y .

 

Ya sabemos que esto es equivalente a y . De la primer desigualdad tenemos

 

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . De la segunda tenemos

 

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

 

Por últimos, tenemos que la solución general de nuestra inecuación es la unión de nuestras dos soluciones y , esto es

 

 

3 Resuelve la siguiente inecuación

 

 

En este caso y . Empecemos analizando cuando

 

 

Para esto necesitamos encontrar cuándo , o bien , es claro que esto sucede cuando . Así, nuestro primer conjunto es . Ahora procedaos a analizando cuando

 

 

Ya sabemos que para esto tenemos dos casos, que es cuando el numerador y el denominador tienen signos opuesto. Empecemos por el primer caso

 

1 y .

 

Notemos que se nos pide que , lo cual es equivalente a

 

 

Sin embargo para todo , por lo tanto, lo de arriba nos pide que

 

 

lo cual nos lleva a , lo cual no puede pasar nunca. Esto nos dice que no se puede cumplir que , por lo tanto, en este caso,

 

 

2 y .

 

Ya sabemos que esto es equivalente a y . De la primer desigualdad tenemos

 

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . De la segunda tenemos se cumple para todo , por lo tanto se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es . Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

 

Por últimos, tenemos que la solución general de nuestra inecuación es la unión de nuestras tres soluciones , y , esto es

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗