Inecuaciones cuadráticas

La inecuación cuadrática o de segundo grado:

x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

solución a la ecuación

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

gráfica

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

gráfica

S = (-∞, 2) Unión (4, ∞)


x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

solución

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R

    Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 R
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0 R-1
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0 vacio

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0

solución


Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

  Solución
x2 + x +1 ≥ 0 R
x2 + x +1 > 0 R
x2 + x +1 ≤ 0 vacio
x2 + x +1 < 0 vacio

Ejercicios de inecuaciones cuadraticas

1 7x2 + 21x − 28 < 0

x2 +3x − 4 < 0

x2 +3x − 4 = 0

solución

P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0

gráfica

(−4, 1)

2 −x2 + 4x − 7 < 0

x2 − 4x + 7 = 0

solución

P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0

S = R

3inecuación

solución

recta

P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0

gráfica

(-∞ , −2 ] Unión [2, +∞)


44x2 − 4x + 1 ≤ 0

4x2 − 4x + 1 = 0

solución

solución


5inecuación

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el signo del 2º factor.

ecuación

solución

recta

P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0

gráfica

(-∞, −16] Unión [4, ∞)

6x4 − 25x2 + 144 < 0

x4 − 25x2 + 144 = 0

solución

solución

solución

solución

gráfica

(−4, −3) Unión (−3, 3 ) Unión (3, 4) .

7x4 − 16x2 − 225 ≥ 0 

x4 − 16x2 − 225 = 0 

solución

solución

solución

solución

(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0

El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1er factor.

(x2 − 25) ≥ 0

gráfica

(-∞, −5] Unión [5, +∞)