Problemas de ecuaciones

Para realizar un problemas de ecuaciones en primer lugar lo tenemos que expresar en lenguaje algebráico y posteriormente resolver la ecuación resultante.


Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3

 

Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.


Problemas de móviles

Para plantear problemas sobre móviles que llevan velocidad constante se utilizan las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme:

espacio = velocidad × tiempo

MRU

1er caso

Los móviles van en sentido contrario.

intervalos

e AB + e BC = e AB

Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarán en encontrarse.

90t + 60t = 300      150t = 300      t = 2 horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 11 de la mañana .

3 La distancia recorrida por cada uno.

e AB = 90 · 2 = 180 km

e BC = 60 · 2 = 120 km


2o caso

Los móviles van en el mismo sentido.

intervalos

e ACe BC = e AB

Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarán en encontrarse.

90t − 60t = 180      30t = 180      t = 6 horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 3 de la tarde .

3 La distancia recorrida por cada uno.

e AB = 90 · 6 = 540 km

e BC = 60 · 6 = 360 km


3er caso

Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido.

e 1 = e 2

Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardará en alcanzarlo.

90t = 120 · (t − 3)

90t = 120t − 360       −30t = −360        t = 12 horas

2 La distancia a la que se produce el encuentro.

e 1 = 90 · 12 = 1080 km


Problemas de grifos

En una hora el primer grifo llena 1/t1 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/t2 del depósito.

Si existe un desagüe

En una hora el desagüe vacia 1/t3 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

Sin desagüe

solución

Con desagüe

solución


Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

ecuación

ecuación

7x = 12             x = 12/7 horas


Problemas de mezclas

C1 flecha 1ª cantidad. C1 = x

C2 flecha 2ª cantidad. C2 = Cm - x

Cm flecha Cantidad de la mezclaCm = C1 + C2

P1 flecha Precio de la 1ª cantidad

P2 flecha Precio de la 2ª cantidad

Pm flecha Precio de la mezcla

C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm

También podemos poner los datos en una tabla

  Cantidad Precio Coste
1ª sustancia C1 P1 C1 · P1
2ª sustancia C2 P2 C2 · P2
Mezcla C1 + C2 P C1 · P1+ C2 · P2

C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm


Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.

¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?

  1ª clase 2ª clase Total
Nº de kg x 60 − x 60
Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50

40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50

40x + 3600 − 60x = 3000;    − 60x + 40x = 3000 − 3600;   20x = 600

x = 30;   60 − 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª clase.


Problemas de aleaciones

La ley de la aleación es la relación entre el peso del metal fino, es decir, más valioso, y el peso total.

Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, teniendo en cuenta que la ley de la aleación equivale al precio de la mezcla.

C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La


Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

  1ª ley 2ª ley Total
Nº de g x 1800 − x 1800
Plata 0.750 · x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800

0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800

0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620

0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710

−0.2x = − 90       x = 450

1ª ley flecha 450 g

2ª ley flecha 1350 g