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Vamos

Métodos para la obtención de las raíces y factorización

En la ecuación de la forma , el polinomio se puede descomponer en factores de primer y segundo grado. Para ello utilizaremos el teorema del resto y la regla de Ruffini. También nos resultará útil la fórmula general.

¿Cómo están relacionadas las raíces del polinomio con su factorización?

Si tengo un polinomio de grado con raíces , entonces el polinomio  se factoriza como

Ejemplo

1

Tomamos los divisores del término independiente:

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.

Como resultó 0, la división de por el factor es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.

Dividimos por Ruffini.

 


 

Por ser la división exacta, D = d · c, entonces

Se concluye que una raíz del polinomio es .

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar nuevamente con 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini

Como resultó un número distinto a 0, probamos con otro divisor, por ejemplo con -1

Como es igual a 0, calculamos la división de por con Ruffini.
 


 
Se concluye entonces que

Otra raíz es .

Como ya nos queda encontrar las raíces de y es un polinomio de segundo grado, podemos usar la fórmula general. También podríamos continuar como lo hemos hecho, sin embargo ese método sólo encuentra raíces enteras, y no nos serviría si el polinomio tuviera raíces no enteras.

Usando la fórmula general tenemos que

Entonces

Las soluciones son: , , y

De esto se concluye que el polinomio se factoriza como

Ejercicios propuestos para la solución de ecuaciones por el método de Ruffini y el teorema del resto

1

Tomamos los divisores del término independiente:

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.

Como resultó 0, la división de por el factor es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
 


 
Entonces

Se concluye que una raíz del polinomio es .

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar nuevamente con 1 porque esa raíz se podría repetir, es decir, que el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini

Como es igual a 0, calculamos la división de por con Ruffini.
 


 
Por lo tanto

Las soluciones son: y

De esto se concluye que el polinomio se factoriza como


2

Tomamos los divisores del término independiente:

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta

Como resultó 0, la división de por el factor es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
 


 
Por lo tanto

Como ya nos queda encontrar las raíces de y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general

Como no resulta un número real, no podemos descomponer más el polinomio de grado 2, entonces el polinomio se factoriza

Y solo tiene una raíz:


3

Tomamos los divisores del término independiente: Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta

Como resultó 0 en este último, la división de por el factor es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
 


 
Entonces

Como ya nos queda encontrar las raíces de y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general

Entonces

Las soluciones son: , y  

De esto se concluye que el polinomio se factoriza como


4

Tomamos los divisores del término independiente: Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta

Como resultó 0 en este último, la división de por el factor es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
 


 
Entonces

Como ya nos queda encontrar las raíces del segundo factor y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general

Entonces

Las soluciones son: , , .

De esto se concluye que el polinomio se factoriza como

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗