Posiciones relativas

Posiciones relativas de dos rectas

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada por A y vector y la recta s por B y vector, la posición relativa de r y s viene dada por la posición de vectores.

Si vectores linealmente dependientes hay dos posibilidades:

1. Rectas coincidentes si proporción.

2. Rectas paralelas si proporciones.

 

Si vectores linealmente dependientes hay otras dos posibilidades:

3. Rectas secantes si determinante.


4. Rectas que se cruzan si determinante.


Rectas definidas por sus ecuaciones implicitas

r s

Si:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:

Posición r r'
Cruzadas 3 4
Secantes 3 3
Paralelos 2 3
Coincidentes 2 2

Posiciones relativas de una recta y un plano

1. La recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto A y el vector vector u. y un plano cuyo rector normal es vector normal. Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición producto escalar A
Recta contenida en el plano = 0 pertenece π
Recta y plano paralelos = 0 no pertenece π
Recta y plano secantes ≠ 0  

2. La recta viene definida por dos planos secantes

Sea la recta: recta y el plano plano.

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

sistema

Si:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:

Posición r r'
Recta contenida en el plano 2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3

Posiciones relativas de dos planos

Dados los planos:

plano

plano

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

Posición r r'  
Secantes 2 2 secantes
Paralelos 1 2 paralelos
Coincidentes 1 1 coincidentes

Posiciones relativas de tres planos

Para estudiar la posición relativa de tres planos discutimos el sistema:

sistema

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:

r r'   Posición
3 3   1. Planos secantes en un punto
2 3
 
 
proporción
2.1 Planos secantes dos a dos.
 
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.
2 2
 
 
proporción
3.1 Planos secantes y distintos.
 
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.
1 2
 
 
proporción
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.
 
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.
1 1   5. Planos coincidentes.