Posiciones relativas de dos rectas

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada por y y la recta s por y , la posición relativa de r y s viene dada por la posición de .

Si hay dos posibilidades:

1. Rectas coincidentes si .

2. Rectas paralelas si .

 

Si hay otras dos posibilidades:

3. Rectas secantes si .

4. Rectas que se cruzan si .

Rectas definidas por sus ecuaciones implicitas

Si:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:

Posición	r	r'
Cruzadas	3	4
Secantes	3	3
Paralelos	2	3
Coincidentes	2	2

Posiciones relativas de una recta y un plano

1. La recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto A y el vector . y un plano cuyo rector normal es . Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición		A
Recta contenida en el plano	= 0	π
Recta y plano paralelos	= 0	π
Recta y plano secantes	≠ 0

2. La recta viene definida por dos planos secantes

Sea la recta: y el plano .

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

Si:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:

Posición	r	r'
Recta contenida en el plano	2	2
Recta y plano paralelos	2	3
Recta y plano secantes	3	3

Posiciones relativas de dos planos

Dados los planos:

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

Posición	r	r'
Secantes	2	2
Paralelos	1	2
Coincidentes	1	1

Posiciones relativas de tres planos

Para estudiar la posición relativa de tres planos discutimos el sistema:

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:

r	r'		Posición
3	3		1. Planos secantes en un punto
2	3		2.1 Planos secantes dos a dos.   2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.
2	2		3.1 Planos secantes y distintos.   3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.
1	2		4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.   4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.
1	1		5. Planos coincidentes.