Prueba de hipótesis

Hipótesis estadísticas

Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de una población.

La hipótesis emitida se designa por H0 y se llama hipótesis nula.

La hipótesis contraria se designa por H1 y se llama hipótesis alternativa.

Contrastes de hipótesis

1. Enunciar la hipótesis nula H0 y la alternativa H1.

Bilateral H0=k H1 ≠ k
Unilateral H0≥ k H1 < k
H0 ≤k H1> k

2. A partir de un nivel de confianza 1 − α o el de significación α. Determinar:

El valor zα/2 (bilaterales), o bien zα (unilaterales)

La zona de aceptación del parámetro μ o p.

3. Calcular: x o p', a partir de la muestra.

4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de significación α. Si no, se rechaza.


Contraste bilateral

Se presenta cuando la hipótesis nula es del tipo H0: μ = k (o bien H0: p = k) y la hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ≠ k (o bien H1: p≠ k).


gráfica


El nivel de significación α se concentra en dos partes (o colas) simétricas respecto de la media.

La región de aceptación en este caso no es más que el correspondiente intervalo de probabilidad para x o p', es decir:

Intervalo

o bien:

Intervalo


Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H0 : μ = 6      La nota media no ha variado.

H1 : μ ≠ 6       La nota media ha variado.

2. Zona de aceptación

Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: zα/2 = 1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

(6 − 1,96 ·  0,4 ; 6 + 1,96 ·  0,4) = (5,22 ; 6,78)

3. Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .

4. Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H0, con un nivel de significación del 5%.


Contraste unilateral

Caso 1

La hipótesis nula es del tipo H0: μ ≥ k (o bien H0: p ≥ k).

La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ < k (o bien H1: p < k).

Valores críticos

1 − α α z α
0.90 0.10 1.28
0.95 0.05 1.645
0.99 0.01 2.33

gráfica


El nivel de significación α se concentra en una parte o cola.

La región de aceptación en este caso será:

Intervalo

o bien:

Intervalo


Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico.

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H0 : μ ≥ 0.40      La abstención será como mínimo del 40%.

H1 : μ < 0.40     La abstención será como máximo del 40%;

2. Zona de aceptación

Para α = 0.01, le corresponde un valor crítico: zα = 2.33.

Determinamos el intervalo de confianza:

Intervalo de confianza

3.Verificación.

Proporción de la muestra

4.Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H0. Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que la  La abstención será como mínimo del 40%.


Caso 2

La hipótesis nula es del tipo H0: μ ≤ k (o bien H0: p ≤ k).

La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ > k (o bien H1: p > k).


gráfica


El nivel de significación α se concentra en la otra parte o cola.

La región de aceptación en este caso será:

Intervalo

o bien:

Intervalo


Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. 

¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0,1, la afirmación de partida?

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H0 : μ ≤ 120     

H1 : μ > 120      

2.Zona de aceptación

Para α = 0.1, le corresponde un valor crítico: zα = 1.28 .

Determinamos el intervalo de confianza:

Intervalo de confianza

3. Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 128 € .

4. Decisión

No aceptamos la hipótesis nula H0. Con un nivel de significación del 10%.


Errores de tipo I y tipo II

Error de tipo I. Se comete cuando la hipótesis nula es verdadera y, como consecuencia del contraste, se rechaza.

Error de tipo II. Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y, como consecuencia del contraste se acepta.


H0 Verdadera Falsa
Aceptar Decisón correcta

Probabilidad = 1 − α
Decisión incorrecta:

ERROR DE TIPO II
Rechazar ERROR DE TIPO I

Probabilidad = α

Decisión correcta


La probabilidad de cometer Error de tipo I es el nivel de significación α.

La probabilidad de cometer Error de tipo II depende del verdadero valor del parámetro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n.




  •  
  •