Tipos de sistemas

Atendiendo al número de sus soluciones

Sistema compatible determinado

Tiene una sola solución.

sistemax = 2, y = 3

Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas.

Sistema compatible determinado

Sistema compatible indeterminado

El sistema tiene infinitas soluciones.

sistema

Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución.

Sistema compatible indeterminado

Sistema incompatible

No tiene solución

sistema

Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.

Sistema incompatible


Sistemas de ecuaciones equivalentes

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.


Sistemas de ecuaciones escalonados

Son aquellos en que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

x + y +   z =  3
       y + 2 z = - 1
             z = - 1

Si nos vamos a la 3a ecuación, tenemos que z=-1.

Sustituyendo su valor en la 2a obtenemos que y = 1.

Y sustituyendo en la 1a los valores anteriores tenemos que x= 3.


También es un sistema escalonado:

x + y + z = 4
      y +  z =  2

Como en este caso tenemos más incógnitas que ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por ejemplo la z) y la pasaremos al segundo miembro.

x + y +  z = 3
         y = 2 - λ

Consideraremos z= λ , siendo λ un parámetro que tomara cualquier valor real.

x + y +  z = 3
           y = 2 - z

Las soluciones son:

z= λ  y = 2-λ x= 2.