Teoremas

Teorema de Rolle

Si una función es:

Continua en [a, b]

Derivable en (a, b)

Y si f(a) = f(b)

Entonces, existe algún punto c pertenece (a, b) en el que f'(c) = 0.

Interpretación gráfica del teorema de Rolle

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.


Teorema de Lagrange

Si una función es:

Continua en [a, b]

Derivable en (a, b)

Entonces, existe algún punto c pertenece (a, b) tal que:

fórmula del teorema del valor medio

Interpretación gráfica del valor medio

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).


Teorema de Cauchy

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c pertenece (a, b) tal que:

teorema de Cauchy

El valor del primer miembro es constante:

relación entre las derivadas

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.


Regla de L'Hôpital

Si f y g, en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe límite, este límite coincide con límite.

regla de L'Hôpital

Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma límite, donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

indeterminación es


Ejercicios de los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de L'Hôpital