Teoremas

Teorema de Weierstrass

Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(X) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b].

Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores extremos absolutos:

teorema

Teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.


Función es continua en el intervalo [-1, 4]

intervalo

teorema

Teorema de Bolzano

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c pertenece (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Bolzano


Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].

Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

f(0) = -1 < 0

f(1) = 1 > 0

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c pertenece (0. 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.


Propiedad de Darboux

Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k

Teorema de Bolzano

Si Observamos el dibujo podemos definir la propiedad de Darboux de este otro modo:

Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).


Probar que la función f(x) = x(sen x +1) toma el valor 2.

La función es continua en toda R por se el producto de dos funciones continuas.

Tomamos el intervalo intervalo y estudiamos el valor de las imágenes de los extremos:

imágenes

imágenes

Por tanto existe un c pertenece intervalo tal que f(c) = 2


Ejercicios resueltos del teorema de Bolzano