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Vamos

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

grafica del teorema del cateto

 

Donde:

  • es la hipotenusa.
  • y son los catetos.
  • es la proyección del cateto sobre la hipotenusa.
  • es la proyección del cateto sobre la hipotenusa.

Dicho lo anterior, se satisfacen las siguientes relaciones:

 

Ejemplo:La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide cm y la proyección de un cateto sobre ella cm. Hallar el otro cateto.

grafica de triangulo de problema con el teorema del cateto
Solución:Para resolver este problema, usaremos la segunda fórmula de arriba, esto es,

con y . Así

 

Teorema de la altura

 

grafica de triangulo con teorema de la altura

 

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta.

Se satisfacen las siguientes relaciones:

Ejemplo:En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden y centimetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

 

teorema de la altura ejemplo de triangulo dibujado

 

Solución:Para resolver este problema, usaremos la primera fórmula de arriba, esto es,

con y . Así

 

Teorema de Pitágoras

 

teorema de pitagoras grafica

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, esto es,


Aplicaciones del teorema de Pitágoras

 

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Al conocer los valores de los dos catetos, podemos despejar para la hipotenusa:

 

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en m y m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

 

teorema de pitágoras grafica de triangulo

 

Solución: Al conocer el valor de los dos catetos, usamos la fórmula de arriba, esto es,

Así,


Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

Conociendo la hipotenusa y un cateto, del terorema de Pitágoras se sigue que

 

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide m y uno de sus catetos m. ¿Cuánto mide el otro cateto?

 

calcular cateto con pitagoras dibujo triangulo

Solución:Al conocer la hipotenusa y el cateto , usamos la fórmula

Así, se tiene que

Conociendo sus lados, averiguar si es un triángulo rectángulo

Para que sea triángulo rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores, es decir, si se verifica el teorema de Pitágoras

 

Ejemplo: Determinar si el triángulo es rectángulo.

 

triangulo rectangulo representacion grafica

 

Solución: Para determinar si tenemos un triángulo rectángulo, verificamos el teorema de Pitágoras:

Por lo tanto, el triángulo sí es rectángulo.

 

 

Calcular la diagonal del cuadrado

 

aplicaciones del teorema de pitagoras

Para calcular la diagonal de cuadrado, observamos que los catetos que se forman al trazar la diagonal, son iguales y valen . Así, por el teorema de Pitágoras tenemos que

 

Calcular la diagonal del rectángulo

 

teorema de pitagoras problemas

En este caso tenemos todos los datos necesarios para utilizar el teorema de pitágoras. Así

 

 Calcular el lado oblicuo del trapecio rectángulo

 

ejercicios teorema de pitágoras

 

El lado oblicuo del trapecio corresponde a . Ahora, observamos que , así, usando el teorema de Pitágoras obternemos que

 

Calcular la altura del trapecio isósceles

 

 

calcular altura del trapecio

 

Utilizando nuestros conocimientos de geometría analítica, sabemos que

Así, al conocer la hipotenusa, , del tríangulo y uno de sus catetos, , entonces tenemos que

 

Calcular la altura del triángulo equilátero

 

 

altura de triangulo equilatero

 

Dado que un triángulo equilátero, por definición, tiene todos sus lados iguales entonces, al trazar su altura dividimos la base entre dos. Así, se forman dos triángulos rectángulos de los cuales conocemos su hipotenusa y uno de sus catetos. Por lo tanto, el teorema de Pitágoras nos dice que

Por lo tanto,

 

 

Calcular el apotema de un polígono regular

 

 

apotema de un poligono

 

De la figura observamos que el apotema corresponde a uno de los catetos del triágulo que se forma en su interior, del cual conocemos su hipotenusa y su otro cateto. Así, el teorema de Pitágoras nos dice que

 

 

Calcular el apotema del hexágono inscrito

 

 

calcular apotema de un hexagono

 

Tenemos un círculo de radio y un hexágono regular de lado . El apotema del hexágono inscrito divide uno de los lados del hexágono en dos, formando así un triángulo rectángulo del cual conocemos su hipotenusa, , y uno de sus catetos, . Así, el teorema de Pitágoras nos dice que

 

Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito

 

 

pitagoras

 

Tenemos un círculo de radio y en el insctrito triángulo equilátero de lado . Debemos calcular el lado del triángulo en función del radio del círculo. Para eso observamos que, si denotamos por el centro del círculo y por lo tanto, el centro del triángulo, entonces la base del triángulo corta en dos el radio formando así un tríangulo rectángulo del cual conocemos su cateto o base, y el otro cateto que tiene dimensiones .Además su hipotenusa es . Por lo tanto, el teorema de Pitágoras nos dice que se debe cumplir que

Entonces

 

Calcular el lado de un cuadrado inscrito

 
Cuadrado inscrito en un circulo
 

Tenemos un círculo de radio e inscrito un cuadrado de lado . El centro del círculo también corresponde al centro del cuadrado. Dos radios del círculo junto con el lado del cuadrado inscrito forman un triángulo rectángulo de hipotenusa y catetos . Para calcular la hipotenusa del triángulo en función del radio usamos el teorema de Pitágoras. Así

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗