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Vamos

Propiedades fundamentales de los exponentes enteros

 

1 Cualquier número elevado elevado al exponente 1 es el mismo número :

 

 

2 Cualquier número elevado a la potencia 0 es 1:

 

 

Nota: La expresión es una forma indeterminada. Es decir, no está definida.

 

3 El resultado de elevar cualquier número en una potencia par, es positivo. Es decir,

 

 

si para algún .

 

Nota: esto se puede recordar más fácil viendo la siguiente expresión:

 

 

que significa que cualquier número (positivo o negativo) elevado a potencia par da como resultado un número positivo.

 

4 El resultado de elevar cualquier número en una potencia impar, tiene el mismo signo que . Es decir,

 

 

y

 

 

si para algún .

 

Nota: esta propiedad se puede recordar con la siguiente expresión:

 

 

5 Los exponentes negativos cumplen la siguiente propiedad (para ):

 

 

es decir, es igual al recíproco de la base elevado a la potencia positiva.

 

Ejemplos

 

Consideremos los siguientes ejemplos:

 

1 , ,

 

2 ,

 

3 ya que 6 es un número natural par. Asimismo,

 

 

4 ya que y 3 es un número impar. Similarmente,

 

 

ya que

 

5

 

Exponentes racionales

 

Definimos las raíces de los números reales de la siguiente manera:

 

Definición: dado un número , la raíces n-ésima de es aquél número tal que

 

 

y solemos escribir o .

 

Es por medio de los radicales que se introducen las potencias racionales. Se tienen las siguientes propiedades:

 

1 Por definición, se tiene que

 

 

2 También por definición, se tiene que

 

 

3 Además, se tiene que

 

 

Nota: la raíz par de un número negativo no está definida en los números reales. Si estamos trabajando con números reales, entonces podemos decir que esta raíz no existe.

 

Ejemplos

 

1

 

2

 

3

 

Leyes de los exponentes con misma base

 

Las siguientes leyes se cumplen para cualesquiera y cualquiera . Notemos que, en algunos casos, utilizar nos pueda conducir a indeterminaciones.

 

1 El producto de dos potencias con la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes:

 

 

2 La división de dos potencias con la misma base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes:

 

 

3 Elevar una potencia a otra potencia es igual a elevar la base al producto de los exponentes:

 

 

Nota: presta atención a los paréntesis de la expresión anterior. Primero se realiza la operación y luego se eleva a la potencia . Esto es diferente a la siguiente operación:

 

 

y casi nunca son iguales, es decir,

 

 

Ejemplos

 

Considera los siguientes ejemplos:

 

1

 

2

 

3

 

Operaciones con potencias con el mismo exponente

 

Las siguientes leyes se cumplen para cualesquiera y cualquiera y .

 

1 El producto de dos potencias con el mismo exponente es igual al producto de las bases elevados al exponente. Es decir,

 

 

2 La división de dos potencias con mismo exponente es igual a la división de las bases elevadas al exponente:

 

 

Ejemplos

 

Considera los siguientes ejemplos:

 

1

 

2

 

Ejercicios

 

1 Escribe las siguientes operaciones como una única potencia. Es decir, de la forma :

 

a

 

b

 

c

 

d

 

a Notemos que tenemos multiplicaciones de puros exponentes con la misma base. Por lo tanto, los exponentes se suman:

 

 

b Ahora tenemos una división entre dos potencias con la misma base. Por tanto, los exponentes se restan:

 

 

c Tenemos, ahora, una potencia elevada a otra potencia. Por lo tanto, los exponentes se multiplican:

 

 

d Notemos que, en este caso, tenemos tres potencias con el mismo exponente. Por tanto, podemos multiplicar las bases:

 

 

2 Escribe las siguientes operaciones como una única potencia. Es decir, de la forma :

 

a

 

b

 

c

 

d

 

a El primer caso se trata de una potencia elevada a otra potencia. Así, los exponentes se multiplican:

 

 

b Este caso es similar al anterior. Tenemos una potencia elevada a otra potencia, y esta elevada a su vez a otra potencia. De este modo, los exponentes se multiplican:

 

 

c Tenemos, de nuevo, una potencia elevada a otra potencia:

 

 

Sin embargo, notemos que . Así, podemos simplificar todavía un poco más:

 

 

d Tenemos, de nuevo, una potencia elevada a otra potencia. Además, observemos que . Por tanto,

 

 

3 Escribe las siguientes operaciones como una única potencia. Es decir, de la forma :

 

a

 

b

 

c

 

d

 

a Tenemos una multiplicación de potencias con la misma base. Por tanto, se suman los exponentes,

 

 

b Ahora tenemos una división entre potencias con la misma base, por lo que los exponentes se restarán:

 

 

c Observemos que tenemos una potencia elevada a otra potencia. De este modo, los exponentes se suman,

 

 

d Tenemos, ahora, multiplicación de potencias con el mismo exponente. Por tanto, podemos multiplicar las bases,

 

 

4 Escribe las siguientes operaciones como una única potencia. Es decir, de la forma :

 

a

 

b

 

c

 

d

 

a Tenemos una potencia elevada a otra potencia. Por tanto, los exponentes se multiplican

 

 

b Observemos que tenemos una potencia elevada al exponente 0. Como

 

 

entonces podemos concluir que

 

 

c Tenemos una potencia elevada a otra potencia. Asimismo,

 

 

d De nuevo tenemos una potencia elevada a otra potencia. Además, :

 

 

5 Realiza por completo las siguientes operaciones con potencias:

 

a

 

b

 

c

 

d

 

a Observemos que tenemos multiplicación de potencias con la misma base. Por tanto, los exponentes se suman:

 

 

donde sacamos el signo ya que estamos elevando a una potencia impar.

 

b Al igual que en el caso anterior, tenemos multiplicación de potencias con la misma base,

 

 

De nuevo sacamos el signo ya que estamos elevando a una potencia impar.

 

c Una vez más, tenemos multiplicación de potencias con la misma base:

 

 

d Ahora tenemos una división de potencias con la misma base. Así, los exponentes se restan:

 

 

6 Realiza por completo las siguientes operaciones con potencias:

 

a

 

b

 

c

 

a Tenemos división de potencias con la misma base:

 

 

b De nuevo, tenemos división de potencias con la misma base:

 

 

c Una vez más, se trata de una división de potencias con la misma base:

 

 

7 Calcula las siguientes potencias:

 

a

 

b

 

c

 

d

 

Recordemos que los exponentes fraccionales implican raíces.

 

a Esta expresión se puede escribir como

 

 

Luego, utilizando la propiedad de la multiplicación de exponentes,

 

 

b Podemos escribir la expresión como

 

 

Si utilizamos la propieda de multiplicación de exponentes:

 

 

c Notemos que . Por tanto,

 

 

Luego,

 

 

d Ahora el exponente es . Así

 

 

8 Simplifica la siguiente expresión,

 

 

Debemos simplificar la siguiente expresión, la cual denotaremos como :

 

 

Empezamos notando que cualquier número elevado al exponente 0 es 1 (en el numerador). Además, en el denominador podemos utilizar la propiedad de multiplicación de exponentes:

 

 

Después sumamos los exponentes que tengan la misma base:

 

 

es decir,

 

 

Convertimos aquellos exponentes que estén elevados a exponente negativo, utilizando el recíproco de la base:

 

 

De nuevo, sumamos/restamos los índices de aquellas potencias con la misma base:

 

 

Ahora notemos que

 

 

y que

 

 

Por lo tanto, la expresión se convierte en

 

 

Utilizamos de nuevo la propiedad de multiplicación de exponentes:

 

 

Sumamos/restamos los exponentes:

 

 

Por lo tanto, tenemos que

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗