Los números enteros

El conjunto de los números enteros está formado por:

enteros = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Enteros

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.

Inclusión

Diagrama

Operaciones con números enteros

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

|−a| = a

|a| = a

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

a + b Pertenece enteros

3 + (−5) Pertenece enteros

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5


Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

a − b Pertenece enteros

10 − (−5) Pertenece enteros

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

a · b Pertenece enteros

2 · (−5) Pertenece enteros

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

(−2) : 6 No perteneceenteros

2. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

signos

Propiedades

a0 = 1 ·

a1 = a

am · a n = am+n

(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

am : a n = am - n

(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8

(am)n = am · n

[(−2)3]2 = (−2)6 = 64

an · b n = (a · b) n

(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216

an : b n = (a : b) n

(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

potencia

Operaciones con potencias

Ejercicios de potencias de números enteros

1 (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561

2 (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=

(−3)3 · (−3) · (−3)2 · (−3)0 = (−3)6 = 729

3 (−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3

4 3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9

5 52 : 53 = 5−1 = 1/5

6 5−2 : 53 = 5−5 = (1/5)5 = 1/3125

7 52 : 5−3 = 55 = 3125

8 5−2 : 5−3 = 5

9 (−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 =

(−3)1 · (−3)6· (−3) = (−3)3

10 [(−3)6 : (−3)3]3 · (−3)0 · (−3)−4 =

[(−3)3]3 · (−3)0· (−3)−4 =

(−3)9 · (−3)0 · (−3)−4 = (−3)5 = −243

Operaciones combinadas con números enteros

Prioridades en las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..

2º.Calcular las potencias y raíces.

3º.Efectuar los productos y cocientes.

4º.Realizar las sumas y restas.

Ejercicios de operaciones combinadas de números enteros

14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =

Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.

14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =

14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =

La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:

Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga.

Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga.

14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6


Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] = − 5 + (5 + 2)= − 5 + 7= 2

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

= 5 − [6 − 2 − (−7) − 3 + 6] + 5 =

= 5 − [6 − 2 + 7 − 3 + 6] + 5 =

= 5 − 14 + 5 = −4

3 9 : [6 : (− 2)] = 9 : (− 3) = −3

4 [(− 2)5 − (− 3)3]2 =

= [− 32 − (− 27)] = (−32 + 27)2 =

= (−5)2 = 25

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)2 =

= (5 + 6 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)2 =

= (5 + 1 − 4 ) · (2 − 3 + 6) : (7 − 4 − 2)2 =

= 2 · 5 : 12 =

= 2 · 5 : 1 = 10 : 1 = 10

6 [(17 − 15)3 + (7 − 12)2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

= [(2)3 + (−5)2] : [(−1) · (−11)] =

= (8 + 25) : [(−1) · (−11)] =

= (8 + 25) : 11 =

= 33: 11 = 3

7 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) = 9 − (−3) = 9 + 3 =12

8 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =

= 1 − (4) − [5 − (4) − 2] =

= 1 − (4) − (5 − 4 − 2)=

= 1 − (4) − (−1) =

= 1 − 4 + 1 = −2

9 − 12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

= − 12 · 3 + 18 : (− 12 : 6 + 8) =

− 12 · 3 + 18 : (−2 + 8) =

= −12 · 3 + 18 : 6 =

= −36 + 3 = −33

10 2 · [( −12 + 36) : 6 + (8 − 5) : (−3)] − 6 =

= 2 · [24 : 6 +3 : (−3)] − 6 =

= 2 · [ 4 + (−1)] − 6 =

2 · 3 − 6 = 6 − 6 = 0

11 [(−2)5 · (−3)2] : (−2)2 =

(−32 · 9) : 4 = −288 : 4 = −72

126 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =

= 6 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =

6 + [4 − (17 − 16) + 3] − 5 =

= 6 + (4 − 1 + 3) − 5 =

6 + 6 − 5 = 7


Ejercicios y problemas resueltos de números enteros