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Vamos

Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión de una función son aquellos puntos en los que la gráfica de la función cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa. Informalmente hablando, podemos decir que es el momento en que la función cambia de tendencia.

Ejemplo de punto de inflexion
Figura 1. Representación de un punto de inflexión.

 

Encontrar los puntos de inflexión por medio del criterio de la tercera derivada

Para encontrar los puntos de inflexión de una función derivable por medio del criterio de la tercera derivada realizamos los siguientes pasos.

1 Encontramos la primera derivada de : .

2 Hallamos la segunda derivada de e igualamos a cero: .

3 Despejamos la variable independiente "" y encontramos los valores para los que se cumple la condición. Es decir, buscamos los tales que con .

4 Hallamos la tercera derivada de : .

5 Sustituimos los en la tercera derivada y si entonces se tiene un punto de inflexión en . ​

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Ejemplo: cálculo de puntos de inflexión utilizando el criterio de la tercera derivada.

Calcular los puntos de inflexión de:

Solución:

Sigamos los pasos vistos anteriormente para encontrar los puntos de inflexión.

1 Encontramos la primera derivada de :

 2  Hallamos la segunda derivada de e igualamos a cero:

 3  Encontramos las raíces de . Notemos que
es decir, es raíz de .

 4  Hallamos la tercera derivada de :

 5  Sustituimos en la tercera derivada:

Dado que tendremos que punto de inflexión, donde
Esto es, el punto es un punto de inflexión.

Cálculo de puntos de inflexión conociendo intervalos de concavidad y convexidad

 

Calculemos los puntos de inflexión de las siguientes funciones considerando los intervalos en los que es cóncava y en los que es convexa .

 

1

Solución:
Comenzamos analizando el dominio de la función. Notemos que no está definida cuando el denominador se hace cero, por lo que debemos descartar los valores que anulen el denominador,

por tanto .

Continuemos calculando la primera y segunda derivada de para encontrar posibles puntos de inflexión,

Igualamos la segunda derivada igual a cero:

Por lo tanto tenemos que un posible punto de inflexión es en

Ahora bien, hay una propiedad de la segunda derivada que nos dice que si la segunda derivada de es positiva en un intervalo entonces es convexa en ese intervalo y similarmente si la segunda derivada de es negativa en un intervalo entonces es cóncava en ese intervalo . Tomando esto en cuenta, revisamos los signos al segmentar el dominio:

  • Si
  • Si
  • Si .

 

Luego, la función es cóncava en el intervalo y convexa en . Así, como la función pasa de cóncava a convexa en el punto , entonces podemos afirmar que el punto es un punto de inflexión. Esto es, en el punto .

 

Punto de inflexión
Figura 2. El punto [latex] A [/latex] es el único punto de inflexión.
Para mas información respecto a concavidad y convexidad, consulte aquí.

 

2  

Solución:

Notemos que en este caso no tenemos ningún problema al tratarse de una función polinómica por lo que . Calculamos la primera y segunda derivada
Igualamos la segunda derivada a cero y encontramos sus raíces
Ahora bien, tenemos que

  • Si ,
  • Si , y
  • Si ,

 

Similar al ejercio anterior esto nos dice que cambia de convexa a cóncava en y de cóncava a convexa en . Por lo que podemos concluir que sus puntos de inflexión son:

  • , es decir, en el punto
  • , es decir, en el punto

 

Puntos de inflexión de una función
Figura 3. Los puntos [latex] I_1 [/latex] e [latex] I_2 [/latex] son los únicos puntos de inflexión.

 

Problemas de puntos de inflexión

 

1 Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en su punto de inflexión.

Solución:

Encontraremos primeramente el punto de inflexión de , para esto empezamos calculando primera y segunda derivada de :

Igualamos segunda derivada a cero y encontramos valor para el que se anula

Proseguimos calculando la tercera derivada de y verificando que no se anula en

Puesto que , entonces punto de inflexión.

Ahora bien, encontraremos la ecuación de la recta tangente en el punto , para esto utilizaremos la forma punto-pendiente de la recta

donde punto de la recta y pendiente de la recta.

La pendiente de la recta tangente en el punto la encontramos con la primera derivada

Por tanto la ecuación de la recta tangente es

 

Observar la recta tangente y el punto de inflexión
Figura 4. Recta tangente en el punto de inflexión de la función.

 

2 La curva corta al eje de abscisas en y tiene un punto de inflexión en . Hallar y .

Solución:

Tenemos que con derivadas

Ahora bien, sabemos que corta al eje de las abscisas en entonces

También sabemos que el punto de inflexión es en por lo que la segunda derivada debe anularse en y , es decir,

De (2) concluimos que , y sustituyendo el valor de en (1) y (3) tendremos que

Obteniendo así un sistema de ecuaciones lineales :

Resolvemos dicho sistema utilizando cualquier método de su preferencia y obtenemos que

 

3 Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: .

Solución:
Procedemos similarmente al problema 1, pero esta vez considerando que la ecuación de la recta normal en un punto es

Comenzamos buscando el punto de inflexión de y para esto calculamos la primera y segunda derivada

Igualamos segunda derivada a cero y encontramos raíz

Calculamos tercera derivada y verificamos que no se anule en

Entonces punto de inflexión.

Ahora bien, entonces

Recta tangente :

Recta normal :

 

4 Sea . Hallar y de manera que la gráfica de la función tenga para un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de con el eje

Solución:
Empezamos calculando primera y segunda derivada

Puesto que queremos un ángulo de con el eje en el punto de inflexión se debe tener que

y además queremos un punto de inflexion en entonces

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (4) y (5), y obtenemos que

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗