En este artículo vamos a representar gráficamente la función

estudiando los siguientes puntos:

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Vamos

Dominio

Dado que la función en cuestión es una función racional, entonces el dominio de la función serán todo los números reales menos aquellos puntos donde el denominador se anula, es decir, menos aquellos puntos donde la función no existe. Así, hacemos

la cual no tiene solución en . Por lo tanto el dominio de la función es:

 

Simetría

Nótese que es decir, la función es impar. Por lo tanto tenemos simetría respecto al origen.

 

Puntos de corte con los ejes

  • Puntos de corte con el eje : Para encontrar estos puntos debemos hacer y resolver. Esto es,
    Por lo tanto el único punto de corte con el eje es .
  • Puntos de corte con el eje : Para encontrar estos puntos debemos hacer y ver cuál es el valor de la función

    Así, el único punto de corte con el eje es .

 

Asíntotas

  • Asíntotas horizontales: Observe que
    Así, la recta , es la única asíntota horizontal puesto que también se tiene que
  • Asíntotas verticales: Ya que el dominio de la función es , entonces la función no tiene asíntotas verticales.
  • Asíntotas oblicuas: Debido a que la función presenta al menos una asíntota horizontal, entonces la función no tiene asíntotas oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

Primero encontramos la primera derivada, la igualamos a cero y despejamos
Luego se tiene que

Por lo tanto los puntos críticos de la función ocurren cuando Ahora revisamos los signos al segmentar el dominio:

De aquí obtenemos que la función es:

  • Creciente en .
  • Decreciente en .

 

Mínimos y máximos

Para encontrar los mínimos y máximos debemos calcular la segunda derivada y evaluarla en los puntos críticos. Tenemos que, la segunda derivada de la función es:

Luego, evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos encontrados anteriormente.

  • En , tenemos que

    Así, como , entonces sabemos que el punto es un mínimo, esto es, tenemos un mínimo en el punto .
  • En , tenemos que

    Así, como , entonces sabemos que el punto es un máximo, esto es, tenemos un máximo en el punto .

 

Concavidad y convexidad

Para determinar la concavidad y convexidad debemos hacer y resolver para :


Es decir,
Ahora revisamos los signos de al segmentar el dominio con estos puntos:

Pero sabemos que, si en un intervalo, entonces la función es convexa en ese intervalo. De igual manera, si en un intervalo, entonces la función es cóncava en ese intervalo.

Entonces tenemos que la función es

  • Convexa en .
  • Cóncava en .

 

Puntos de inflexión

Para encontrar los puntos de inflexión haremos uso del criterio de la tercera derivada ( ver: ¿Qué son los puntos de inflexión?). Tenemos que
Ahora, evaluamos en los puntos y que corresponden a los valores que obtuvimos al hacer y continuando con el criterio de la tercera derivada, si , donde denota cualquiera de los tres puntos anteriores, entonces tenemos un punto de inflexión en . Sustituyendo:

  • Si , entonces

    Luego, tenemos un punto de inflexión en , es decir, en .
  • Si , entonces
    Luego, tenemos un punto de inflexión en , es decir, en .
  • Si , entonces

    Luego, tenemos un punto de inflexión en , es decir, en
    .

 

Representación gráfica

La gráfica de la función se representa en la siguiente figura:

Representación gráfica de una función
Figura 1. Representación gráfica de la función. Los puntos de inflexión se denotan por negro, el mínimo en azul y el máximo en amarillo.

 

Para ver más ejemplos como este, visitar:

Ejercicios resueltos de representación de funciones

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗