Funciones

Definición de función

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D  f  R

   x   f   f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

   x   f   Raíz de x

función

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x pertenece R / exixte f (x)}

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = {f (x) / x pertenece D}


Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Composición

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(g o f) (1) = 6· 1 + 1 = 7

Dominio

D(g o f) = {x pertenece Df / f(x) pertenece Dg}

Propiedades

Asociativa:

f o (g o h) = (f o g) o h

No es conmutativa.

f o g ≠ g o f

El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.

f o i = i o f = f


Ejemplos

Sean las funciones:

funciones

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones


funciones

operaciones

operaciones


Funciones

operaciones

Operaciones


Función inversa o recíproca

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Diagramas

Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

f o f -1 = f -1 o f = x

Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Gráfica

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, inversa.

Cálculo de la función inversa

1Se escribe la ecuación de la función en x e y.

2Se despeja la variable x en función de la variable y.

3Se intercambian las variables.


Ejemplos

función

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

operaciones

operaciones


función inversa

función inversa

función inversa


función inversa

función inversa

función inversa