Función cuadrática

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx +c

Representación gráfica de la función cuadrática

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Vértice

Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

eje

2. Puntos de corte con el eje OX.

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx +c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² - 4ac > 0

Un punto de corte: (x1, 0) si b² - 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY.

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a· 0² + b· 0 +c = c        (0,c)


Representar la función f(x) = x² - 4x + 3

1. Vértice

x v = - (-4) / 2 = 2     y v = 2² - 4· 2 + 3 = -1       

 V(2, -1)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² - 4x + 3 = 0

ecuación       

(3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, 3)

Gráfica


Construcción de la función cuadrática

Partimos de y = x²

x y = x²
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4

función

1. Traslación vertical

y = x² + k

Si K > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades.

Si K < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades.

El vértice de la parábola es: (0, k).

El eje de simetría x = 0.

funciónfunción

y = x² +2 y = x² -2

2. Traslación horizontal

y = (x + h)²

Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades.

Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades.

El vértice de la parábola es: (-h, 0).

El eje de simetría es x = -h.

funciónfunción

y = (x + 2)²y = (x - 2)²

3. Traslación oblicua

y = (x + h)² + k

El vértice de la parábola es: (-h, k).

El eje de simetría es x = -h.

funciónfunción

y = (x - 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2