En este artículo exploraremos la factorización de polinomios. Primero expondremos algunos teoremas y propiedades sobre los polinomios que nos ayudarán a factorizarlos con mayor facilidad. Luego revisaremos con detalle métodos para factorizarlos y al final mostraremos algunos ejemplos de factorización de polinomios.

 

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Vamos

Teoremas sobre los factores de un polinomio

 

Para los siguientes teoremas recordemos que es una raíz del polinomio si se cumple que .

 

Teorema del Resto

 

Teorema: El resto o residuo de la división de un polinomio por un polinomio de la forma es igual que el resultado de evaluar el polinomio en .

 

Por ejemplo, dividamos entre utilizando la regla de Ruffini:

 

 

Así, el cociente de la división es , mientras que el residuo es 56. Por otro lado, si evaluamos en 3, obtenemos:

 

 

Nota: Observemos que si , entonces significa que el residuo es 0. En otras palabras:

 

 

Si multiplicamos ambos lados por tenemos que

 

 

Por lo tanto, es un factor de . Este resultado se conoce como el teorema del factor.

 

Teorema del factor

 

Teorema: El polinomio es divisible por un polinomio de la forma si y sólo si .

 

Como ejemplo, consideremos el polinomio . Notemos que

 

 

por lo tanto, . Además, y son raíces de .

 

Nota: Si es un polinomio de grado y se divide por , entonces el resultado tiene la forma:

 

 

donde es constante y se conoce como residuo, mientras que es un polinomio de grado .

 

Teorema Fundamental del Álgebra

 

Teorema: Un polinomio de grado y con coeficientes reales tiene exactamente raíces, las cuales pueden ser reales o complejas.

 

Nota: Los polinomios reales tienen raíces, sin embargo, es posible que ninguna sea real. Cuando ninguna raíz es real entonces el polinomio no se puede factorizar en factores lineales.

 

Nota: Recordemos que factorizar un polinomio en factores lineales significa escribir de la forma

 

 

en donde son las raíces de .

 

Teorema de la Raíz Racional

 

Teorema: Sea un polinomio con coeficientes que son enteros. Si es una raíz racional de , entonces tendrá la forma

 

 

donde es un factor de y es un factor de .

 

Nota: Este teorema, junto con el teorema del factor, nos ayudan a encontrar raíces rápido. Primero enlistamos todas las posibles raíces racionales de , luego evaluamos . Si , entonces sabremos que es un factor de . Describiremos algunos ejemplos en la sección de ejemplos.

 

Nota: Este teorema sólo nos dice la forma que tendrán las raíces racionales. Es posible que un polinomio no tenga ninguna raíz racional como en el caso de , cuyas raíces son y .

 

Nota: Si , entonces el polinomio se conoce como mónico. En este caso, el único factor de es 1, por lo tanto, las raíces tienen la forma

 

 

donde es un factor de .

 

Algunas propiedades de las raíces y los factores de un polinomio

 

1 A cada raíz le corresponde un binomio del tipo como factor.

 

2 Supongamos que es una raíz de . Entonces, podemos escribir como

 

 

donde es un polinomio de grado . Después, si descubrimos que también es raíz de , por lo tanto, se podría escribir como

 

 

De aquí se sigue que se puede escribir como

 

 

Si , entonces diríamos que es una raíz de multiplicidad 2 de . Esto implica que las raíces del polinomio no son necesariamente todas distintas.

 

3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo que correspondan a las raíces del polinomio. Así, se factoriza como

 

 

Por ejemplo, ya que y son raíces del polinomio , entonces podemos escribir

 

 

4 Todo polinomio que no tenga un término independiente tendrá a como raíz. Por lo tanto, también tendrá a como factor (es decir, ).

 

Por ejemplo, el polinomio se puede factorizar como . De aquí, concluímos que las raíces son y .

 

5 Un polinomio es irreducible o primo si no puede descomponerse en factores.

 

Por ejemplo, el polinomio no se puede factorizar ya que las raíces son complejas.

 

Métodos para factorizar un polinomio

 

Factor común

 

Sacar el factor común consiste en aplicar la propiedad distributiva de los números reales:

 

 

Por ejemplo, consideremos el polinomio . Notemos que cada término se puede dividir por (es decir, es el factor común). Por lo tanto, el polinomio lo podemos factorizar como

 

 

Observemos que el polinomio no se puede factorizar, por lo tanto, esto es lo más que podemos factorizar el polinomio. La única raíz del polinomio es con multiplicidad 2.

 

Productos notables

 

Existen algunos polinomios de segundo grado que son muy sencillos de factorizar ya que tienen una estructura fácilmente reconocible. Los más comunes son:

 

1 Diferencia de cuadrados: si el polinomio se puede escribir de la forma , entonces podemos factorizar como .

 

Por ejemplo, los polinomios o .

 

2 Trinomio cuadrado perfecto: si el polinomio tiene la forma , entonces lo podemos factorizar como .

 

Por ejemplo, consideremos el polinomio (donde y ), el cual se puede factorizar como .

 

Nota: existen otros productos notables, como el cubo perfecto de binomios. Sin embargo, esos no son tan conmunes.

 

Con el teorema de la raíz racional

 

Si no tenemos un factor común o no se puede escribir el polinomio como un producto notable, entonces podemos intentar a utilizar el teorema de la raíz racional (siempre que todos los coeficientes del polinomio sean enteros). Aquí evaluamos el polinomio entre todas las posibles raíces racionales buscado alguna que satisfaga que . En este caso, utilizamos la regla de Ruffini para realizar la factorización de la forma:

 

 

Luego repetimos el procedimiento con (pero descargamos aquellos valores que ya sabemos que no son factores).

 

Utilizando la fórmula general

 

Si el polinomio es de segundo grado () y todos los métodos anteriores fallaron, entonces podemos utilizar la fórmula general:

 

 

esto nos dará las dos raíces del polinomio y y el polinomio lo podremos factorizar como .

 

Nota: Si las raíces son complejas, podemos obtar por dejar el polinomio sin factorizar y decir que es irreducible. También es posible factorizarlo utilizando las raíces complejas, sin embargo, en este caso los factores serán polinomios en los números complejos.

 

Nota: Si el polinomio es de grado mayor a 2 todo lo anterior falla, entonces es posible que todas las raíces sean irracionales o complejas. En este caso lo más apropiado es utilizar algún método numérico o un programa de computadora para factorizar el polinomio.

 

Ejemplos

 

1 Encuentra las raíces del polinomio y factorízalo.

 

Por el teorema de la raíz racional sabemos que las raíces racionales serán de la forma ; ya que el polinomio es mónico y el término constante es 6 cuyos factores son 1, 2, 3 y 6 (todos los factores, no sólo los primos).

 

Al evaluar el polinomio en estos 8 posibles valores tenemos , , , (de aquí ya sabemos que es una raíz), (de donde sabemos que también es una raíz, por lo que nos detenemos de evaluar ya que ya encontramos las dos raíces).

 

Por lo tanto, el polinomio lo podemos factorizar como

 

 

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2 Factoriza los siguientes polinomios utilizando la fórmula general:

 

a

 

b

 

c

 

Se nos pide utilizar la fórmula general, por lo que eso haremos para cada polinomio:

 

a Primero tenemos ,

 

 

por lo tanto, una raíz es y la otra raíz es . De aquí, se sigue que el polinomio se factoriza como

 

 

b Para tenemos

 

 

por lo tanto, una raíz es y la otra raíz es . De aquí, se sigue que el polinomio se factoriza como

 

 

c Por último, para notemos que no tenemos un polinomio de segundo grado. Sin embargo, solo tenemos las potencias 2 y 4, de manera que podemos hacer el cambio de variable ,

 

 

Este polinomio ya es de segundo grado, por lo que podemos utilizar la fórmula general,

 

 

De aquí, tenemos que las raíces son y . No obstante, , por lo que tenemos

 

 

De esta forma, el polinomio queda factorizado como

 

 

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3 Factoriza el siguiente polinomio de cuarto grado:

 

 

Como el polinomio es de cuarto grado y tiene coeficientes enteros, entonces utilizaremos el teorema de la raíz racional para enlistar todas las posibles raíces racionales.

 

El coeficiente principal es 2, cuyos factores son 1 y 2. El coeficiente independiente es 6, que tiene factores 1, 2, 3 y 6. De esta forma, las posibles raíces son

 

 

Nota que descartamos ya que es igual a ; al igual que descartamos ya que es igual a .

 

Ahora evaluamos el polinomio en estos valores para encontrar las raíces:

 

 

Notamos que el es una raíz. Por lo tanto, utilizamos la regla de Ruffini:

 

 

Es decir, y son factores.

 

Seguimos realizando el procedimiento, ahora con evaluando en las posibles raíces (volvemos a intentar con 1, por si es una raíz de multiplicidad mayor):

 

 

por lo que también es raíz. Utilizamos la regla de Ruffini de nuevo:

 

 

de forma que los factores son y .

 

Notemos que el último factor es cuadrático, por lo que podemos utilizar la fórmula general:

 

 

Por lo tanto, las raíces restantes son y .

 

Es decir, las cuatro raíces son

 

 

Por último, el polinomio se factoriza como (recordemos que el coeficiente principal siempre lo dejamos fuera de los factores lineales):

 

 

donde multiplicamos el último factor por el 2 para deshacernos de la fracción.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗