Son aquellas ecuaciones en las que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de una o varias razones trigonométricas. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones si no se restringe la solución a un intervalo determinado. La solución general a una ecuación trigonométrica incluye el número entero , es decir, .

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

 

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Vamos

Ecuaciones trigonométricas básicas

 

Encontrar la solución general a cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas:

1

Solución: De la gráfica de la función seno en el intervalo (figura 1), observamos que, la función es cero en los valores Ya que la función tiene periodo , entonces tenemos que tenemos que
Así, la solución general a la ecuación, escribiendo lo anterior en una manera más sencilla, es

Ceros de la funcion seno
Figura 1. Ceros de la función [latex]y=\operatorname{sen}x [/latex]en el intervalo [latex] [0,2\pi). [/latex]

 

2

Solución: De la gráfica de la función coseno en el intervalo (figura 2) , observamos que, la función es cero en los valores Ya que la función tiene periodo , entonces tenemos que
Así, la solución general a la ecuación, escribiendo lo anterior en una manera más sencilla, es

Ceros de la funcion coseno
Figura 2. Ceros de la función [latex]y=\cos x [/latex] en el intervalo [latex] [0,2\pi). [/latex]

 

3

Solución: Recordemos que la función tangente puede escribirse como
Por lo tanto
Esto ya lo hemos calculado antes y tiene como solución Esto es, la solución a la ecuación es

 

4

Solución: Es bien sabido que, para todo , entonces Al igual se tiene que, para todo , implica que Es decir, la función es la función inversa de la función en el intervalo Usando esto tenemos que
Por periodicidad, tenemos que la solución a la ecuación es

 

5

Solución:
Como en la ecuación anterior, la función es la función inversa de la función en el intervalo Así, usando este hecho tenemos que

Entonces, la solución a la ecuación es por periodicidad.

 

6

Solución: Similarmente a las funciones y , la función es la inversa de la función en el intervalo abierto . Así, se tiene que
Así, la solución a la ecuación es ya que la función tiene periodo .

 
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7

Solución: Usando la función tenemos que

Por lo tanto la solución general es

 

8

Solución: Usando la función tenemos que

Por lo tanto la solución general es

 

9

Solución: Usando la función tenemos que

Por lo tanto la solución general es

 

Nota: Las soluciones a las ecuaciones trigonométricas es más común encontrarlas en radianes que en grados, pero si se desea se pueden convertir a grados usando la siguiente fórmula:
Por ejemplo, la solución a la primera ecuación en grados se ve como

Es decir,

 

Ejemplos de resolución de ecuaciones trigonométricas

 

A continuación veremos distintas ecuaciones trigonométricas que involucran un grado mayor de dificultad y su resolución.

 

1

Solución: De los ángulos notables de las funciones trigonométricas básicas sabemos que, en el intervalo ,

Así,

Es decir
Por lo tanto, la solución general a la ecuación trigonométrica es
por periodicidad.

 

2

Solución: De los ángulos notables de las funciones trigonométricas básicas sabemos que
Así, se tiene que
Por lo tanto, la solución final es
ya que tiene periodo .

 

3

Solución: Usando las identidades trigonométricas
tenemos que

Luego

Por lo tanto
La primera ecuación ya la hemos resuelto arriba cuya solución es . La ecuación no tiene solución ya que, si

pero no está en el dominio de la función y por lo tanto no existe solución. Finalmente tenemos que la solución a la ecuación es

 

4

Solución: Factorizando obtenemos que

Entonces y
en el intervalo
Luego, la solución final es

 

5

Solución: Para la resolución de este ejercicio usamos la identidad

Así tenemos que

Luego, si

Por lo tanto

La primera ecuación ya la hemos resuelto cuya solución es Para resolver la segunda ecuación hacemos
y por periodicidad
Finalmente, la solución general a la ecuación planteada es

 

6

Solución:
Usando la identidad
tenemos que

Luego, siguiendo el mismo razonamiento hecho en el primer ejercicio, tenemos

y
Por lo tanto, la solución a la ecuación es

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗