¿Conoces nuestras clases de matematicas?

Se dice que una función    es continua en un punto    si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

 

    1. La función    esta  definida en  el punto , o sea, para el punto    existe la imagen  

 

    1. El límite    de la función    cuando    tiende al punto    existe, por tanto sus límites laterales son iguales, es decir,

 

  1. El límite    de    cuando    tiende al punto    sea igual al valor    en términos matemáticos esto significa que,

 

Continuidad lateral

La continuidad lateral en un punto    se define de manera similar a la continuidad en un punto, la diferencia es que aquí solo necesitamos que uno de los límites laterales existan. Así, podemos dividir la continuidad lateral en dos casos, continuidad por la izquierda y continuidad por la derecha.

 

Continuidad por la izquierda

 

Una función    es continua por la izquierda en el punto    si se cumplen las tres condiciones siguientes:

 

    1. La función     esta  definida en  el punto   , es decir, para el punto    existe la imagen  

 

    1. El límite  por la izquierda    de    cuando    tiende al punto    por la izquierda existe. Esto es,

 

  1. El límite    de la función    cuando    tiende al punto    por la izquierda sea igual al valor    o sea,

Continuidad por la derecha

 

Una función    es continua por la derecha en el punto   si se cumplen las tres condiciones siguientes:

 

    1. La función    esta  definida en  el punto   , es decir, para el punto    existe la imagen  .

 

    1. El límite  por la izquierda    de la función    cuando    tiende al punto    por la derecha existe.

 

  1. El límite    de    cuando    tiende al punto    por la derecha sea igual al valor    o sea,

 

Continuidad de funciones

 

Existen varios tipos de funciones continuas, tales como, funciones continuas en todos los punto de su dominio o funciones continuas en solo algunos trozos de su dominio. Algunos ejemplos de funciones continuas en todos los puntos de su dominio son las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. 
Los siguientes son casos particulares de la situación anteriormente descrita.

 


Funciones definidas a trozos

 

Las funciones definidas a trozos son el principal caso de funciones que cumplen con ser continuas solo en algunos trozos o intervalos de su dominio. Un ejemplo de función a trozos es la siguiente

 


Podemos estudiar este tipo de funciones como funciones, que a su vez, se encuentran definidas por otras funciones. En el ejemplo anterior esto significaría que    está definida a través de las funciones constante en el intervalo o trozo    la identidad en    y la función constante    en  
Bajo este contexto, una función a trozos será continua si cada función es continua en su intervalo de definición, y además son continuas en los puntos de división de los intervalos, esto implica que deben coincidir sus límites laterales.
O sea, si quisieramos mostrar la continudad de    habríamos de verificar la continuidad de la función constante    dentro del intervalo    (incluyendo la continuidad en el extremo 1), la identidad dentro de    (incluyendo la continuidad en el extremo 3) y la función constante    en

Operaciones con funciones continuas

 

Es importante notar que, a partir de funciones continuas dadas, podemos generar otras funciones continuas. Esto lo podemos hacer a través de las operaciones básicas con funciones, las cuales son suma, resta, multiplicación, división y composición. 
Las condiciones para verificar la continuidad en estas combinaciones son las siguientes

Si    y    son continuas en   , entonces:

 

    1.   es continua en  .

 

    1.   es continua en  .

 

    1.   es continua en  .

 

    1. Si    entonces
      es continua en  .

 

  1.   es continua en  .

 

Por ejemplo, las funciones    y    son continuas en todos los puntos de su dominio. Entonces las funciones



son continuas. Y además, cuando    se sigue que    también es continua.

Tipos de discontinuidad

 

Hay funciones que tienen puntos donde no cumplen con la definición de continuidad, a estos puntos los llamamos puntos de discontinuidad. Es importante recalcar que hay varios tipos de discontinuidad y a continuación los estudiaremos.

Discontinuidad evitable

 

La discontinuidad evitable de una función    en un punto    se presenta cuando el límite siguiente existe

Esto significa que la discontinuidad se presenta cuando algo pasa con la imagen de punto     Podemos distinguir entre dos tipos.

Tipos

1. La función no está definida en   

 

Esto significa que el valor    no existe.
Esta discontinuidad la podemos remover definiendo un valor para   y dicho valor debe ser igual al límite de    cuando    tiende    es decir,

2. La imagen no coincide con el límite.

 

En este caso tenemos que el valor    existe y también el valor    pero ambos valores no coinciden.
La manera de evitar esta discontinuidad es redefiniendo el valor de    de tal forma que el nuevo valor sea  igual al limite de    cuando    tiende    o sea,

Discontinuidad inevitable

 

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en    pero son distintos. Equivalentemente,

 


En esta clase de discontinuidad también podemos encontrar dos tipos

Tipos

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

 

Esto significa que la diferencia entre los límites laterales es un número real. En expresiones matemáticas, esta situación es equivalente a

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

 

En este caso la diferencia entre los límites laterales es infinito, es decir,

Discontinuidad esencial

 

Finalmente tenemos una discontinuidad inevitable más, en la que el limite    no existe.

Diremos que una discontinuidad es esencial o de segunda especie si al menos no existe alguno de los límites laterales en  

 

Continuidad en un intervalo

 

Continuidad en un intervalo cerrado

 

Uno de los casos destacados de continuidad de funciones es cuando la función es continua en un intervalo cerrado. Esto es porque la función posee propiedades adicionales a la continuidad, por ejemplo es acotada.
Diremos que una función    es continua en un intervalo cerrado    si:

    •    es continua en    para todo  perteneciente al intervalo abierto   .

 

    •   es continua en    por la derecha. Equivalentemente,

 

  •    es continua en    por la izquierda, es decir,

 

Como ejemplo, consideremos la función    tal que   .
 

Esta función es continua en el intervalo    y más aún es acotada en dicho intervalo. Alcanza su valor mínimo igual a    en    pues    su valor máximo igual a    en    ya que
 

Consecuencia

 

Como consecuencia de lo anterior tenemos que si    es continua en un intervalo cerrado    entonces    está acotada en el intervalo. Esto significa que la función alcanza su máximo y mínimo en dentro del intervalo    tal como sucede en el ejemplo anterior.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗