Cálculo integral

Métodos de integración

Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

fórmula de la integral por partes

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.


Integrales por sustitución o cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

integral por sustitución

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

integral

Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

cambio

diferenciar

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

sustituir en la integral

Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

integral

Se vuelve a la variable inical:

cambio de variable


Cambios de variables usuales

1. cambio de variable x = a sen t

2. cambio de variable x = a tg t

3. cambio de variable x = a sec t

4. cambio de variable t = radicando

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si racional que una métrica par es par:

cambio de variable

7. Si racional que una métrica par no es par:

cambie variable


Integrales racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

integral de la división

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

1º Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.


2º Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad


3º Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y otra de tipo arcotangente.

Cálculo integral






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