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Área bajo la curva de una función que toma valores positivos
Si la función toma valores positivos en un intervalo entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1 Se calculan los puntos de corte con con el eje , haciendo y resolviendo la ecuación.
2 El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
Ejemplos de áreas limitadas por funciones positivas
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje para representar la curva y conocer los límites de integración, es decir, igualamos la función a cero y las resolvemos.
y
Calculamos la integral:
Aplicando la exponencial de ambos lados
ya que
finalmente el punto de corte es
Ahora vamos a encontrar el área bajo la curva por medio de la siguiente integral, por el método de integración por partes, es decir, :
Entonces,
Área bajo la curva de una función que toma valores negativos
Si la función toma valores negativos en un intervalo entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
Ejemplos de áreas limitadas por funciones negativas
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje para representar la curva y conocer los límites de integración, es decir, igualamos la función a cero y las resolvemos.
y
Calculamos la integral:
Resolvemos la integral:
Área de una función que toma valores positivos y negativos
En ese caso el área tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1 Se calculan los puntos de corte con con el eje , haciendo y resolviendo la ecuación.
2 Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3 El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplo
y
Observando la gráfica tenemos que calcular dos integrales una para la función que toma valores positivos en el intervalo y otra para la función que toma valores negativos en el intervalo .
La gráfica es simétrica, por lo tanto el área se puede escribir como:
Área comprendida entre dos funciones
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
Calcular el área del círculo de radio r
Partimos de la ecuación de la circunferencia .
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable:
Entonces,
Hallamos los nuevos límites de integración.
Finalmente,
Cómo la gráfica es simétrica:
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
En el ejercicio 13 que es la integral de x^2 * ln(x^2), al hacerlo por partes hace bien lo de coger como u=ln(x^2), pero al coger x^2 como v’ se equivoca y lo coge como x^3
Una disculpa ya se corrigió.
En la pagina no deja ver las respuestas, me parece que es un error de vosotros a ver si lo podeis arreglar, mil gracias
Hola, Pancracio:
Las soluciones ya aparecen correctamente 🙂
Un saludo
Estudio carrera de ingeniería pero me cuesta mucho las matemáticas ¿ algún consejo? O tips
Realmente no entiendo por qué en el ejercicio número 7 la respuesta a la fracción parcial es un -2 y no 2, puesto que parece que multipilican el numerador por un -1, pero no le veo el sentido o razón. ¿Alguna ayuda?
Podemos escribir [latex]\frac-1-tt(t-1)=\fracAt+\fracBt-1[/latex] o [latex]-1-t=A(t-1)+Bt[/latex] entonces tomas t=0 y t=1, de esta manera encuentras los valores de A=1 y B=-2.
Excelente estos ejemplos que ayudan a entender el método de integración por sustitución
Excelente! considero que es un privilegio contar con profesionales como ustedes que nos apoyan para transitar con éxito los senderos de las matemáticas. Mil gracias!