Factorización de un polinomio

Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces vamos a seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles:

Factor común de un polinomio

Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x =

= x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces de:

1 x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3 x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x= a y x = b.


Igualdad notable

1Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2 x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

trimomio

La raíz es x = − 3.

trimomio

La raíz es x = 2.


Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

trinomio

trinomio

ecuación de 2º grado

factorización

Las raíces son x = 3 y x = 2.

trinomio

trinomio

ecuación de 2º grado

factorización

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar sus raíces

x4 − 10x2 + 9

x2 = t

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

bicuadrada

soluciones

soluciones

x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

x4 − 2x2 + 3

x2 = t

t2 − 2t + 3 = 0

bicuadrada

soluciones

soluciones

x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + RAÍZ DE TRES) · (x − RAÍZ DE TRES)


Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para calcular las raíces enteras.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

Ruffini

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

Ruffini

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

Ruffini

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2


Raíces son racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.

En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x− 2

Probamos por: .

Sacamos factor común 12 en el tercer factor.


Ejercicios resueltos de factorización de polinomios


Factorizar los polinomios

19x4 − 4x2 =

x2 · (9x2 − 4) =

x2 · (3x + 2) · (3x − 2)

2x5 + 20x3 + 100x =

x · (x4 + 20x2 + 100) =

x · (x2 + 10)2

33x5 − 18x3 + 27x =

3x · (x4 −6 x2 + 9) =

= 3x · (x2 − 3)2

42x3 − 50x =

=2x · (x2 − 25 ) =

2x · (x + 5) · (x - 5)

52x5 − 32x =

= 2x · (x4 − 16 ) =

2x · (x2 + 4) · (x2 − 4) =

= 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)

62x2 + x − 28

2x2 + x − 28 = 0

resolución ecuación

2x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)


Descomponer en factores los polinomios

1polinomio

prodcuto

2xy − 2x − 3y +6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

325x2 − 1=

= (5x +1) ·(5x − 1)

436x6 − 49 =

= (6x3 + 7) · (6x3 − 7)

5x2 − 2x +1 =

= (x − 1)2

6x2 − 6x +9 =

= (x − 3)2

7x2 − 20x +100 =

= (x − 10)2

8x2 + 10x +25 =

= (x + 5)2

9x2 + 14x +49 =

= (x + 7)2

10x3 − 4x2 + 4x =

= x · (x2 − 4x +4) =

= x · (x − 2)2

113x7 − 27x =

= 3x · (x6 − 9 ) =

= 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)

12x2 − 11x + 30

x2 − 11x + 30 = 0

resolución ecuación

x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

133x2 + 10x +3

3x2 + 10x +3 = 0

resolución ecuación

3x2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

142x2 − x −1

2x2 − x −1 = 0

resolución ecuación

2x2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)


Factorizar y hallar las raíces de los polinomios

1 2x3 − 7x2 + 8x − 3

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

Ruffini

(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 )

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

Ruffini

(x −1 )2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 )2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1


2x3 − x2 − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

Ruffini

(x − 2) · (x2+ x + 2 )

x2+ x + 2 = 0

resolución ecuación

(x − 2) · (x2+ x + 2 )

Raíz: x = 2.


3x3 + 3x2 −4 x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

Ruffini

(x − 2) · (x2 + 5x +6)

x2 + 5x +6 = 0

resolución ecuación

(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.


46x3 + 7x2 − 9x + 2

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

Ruffini

(x+2) · (6x2 −5x +1)

6x2 −5x +1 = 0

resolución ecuación

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3