Factorización de un polinomio

Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces vamos a seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles:

Factor común de un polinomio

Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x =

= x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces de:

1 x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3 x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x= a y x = b.


Igualdad notable

1Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2 x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

trimomio

La raíz es x = − 3.

trimomio

La raíz es x = 2.


Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

trinomio

trinomio

ecuación de 2º grado

factorización

Las raíces son x = 3 y x = 2.

trinomio

trinomio

ecuación de 2º grado

factorización

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar sus raíces

x4 − 10x2 + 9

x2 = t

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

bicuadrada

soluciones

soluciones

x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

x4 − 2x2 + 3

x2 = t

t2 − 2t + 3 = 0

bicuadrada

soluciones

soluciones

x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + RAÍZ DE TRES) · (x − RAÍZ DE TRES)


Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para calcular las raíces enteras.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

Ruffini

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

Ruffini

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

Ruffini

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2


Raíces son racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.

En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x− 2

Probamos por: divisores.

teorema del resto

Ruffini

Factorización

T. del  resto

T. del resto

Ruffini

Factorización

Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

Factorización


Ejercicios resueltos de factorización de polinomios


Factorizar los polinomios

19x4 − 4x2 =

x2 · (9x2 − 4) =

x2 · (3x + 2) · (3x − 2)

2x5 + 20x3 + 100x =

x · (x4 + 20x2 + 100) =

x · (x2 + 10)2

33x5 − 18x3 + 27x =

3x · (x4 −6 x2 + 9) =

= 3x · (x2 − 3)2

42x3 − 50x =

=2x · (x2 − 25 ) =

2x · (x + 5) · (x - 5)

52x5 − 32x =

= 2x · (x4 − 16 ) =

2x · (x2 + 4) · (x2 − 4) =

= 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)

62x2 + x − 28

2x2 + x − 28 = 0

resolución ecuación

2x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)


Descomponer en factores los polinomios

1polinomio

prodcuto

2xy − 2x − 3y +6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

325x2 − 1=

= (5x +1) ·(5x − 1)

436x6 − 49 =

= (6x3 + 7) · (6x3 − 7)

5x2 − 2x +1 =

= (x − 1)2

6x2 − 6x +9 =

= (x − 3)2

7x2 − 20x +100 =

= (x − 10)2

8x2 + 10x +25 =

= (x + 5)2

9x2 + 14x +49 =

= (x + 7)2

10x3 − 4x2 + 4x =

= x · (x2 − 4x +4) =

= x · (x − 2)2

113x7 − 27x =

= 3x · (x6 − 9 ) =

= 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)

12x2 − 11x + 30

x2 − 11x + 30 = 0

resolución ecuación

x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

133x2 + 10x +3

3x2 + 10x +3 = 0

resolución ecuación

3x2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

142x2 − x −1

2x2 − x −1 = 0

resolución ecuación

2x2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)


Factorizar y hallar las raíces de los polinomios

1 2x3 − 7x2 + 8x − 3

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

Ruffini

(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 )

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

Ruffini

(x −1 )2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 )2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1


2x3 − x2 − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

Ruffini

(x − 2) · (x2+ x + 2 )

x2+ x + 2 = 0

resolución ecuación

(x − 2) · (x2+ x + 2 )

Raíz: x = 2.


3x3 + 3x2 −4 x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

Ruffini

(x − 2) · (x2 + 5x +6)

x2 + 5x +6 = 0

resolución ecuación

(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.


46x3 + 7x2 − 9x + 2

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

Ruffini

(x+2) · (6x2 −5x +1)

6x2 −5x +1 = 0

resolución ecuación

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3