Números naturales

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

5 > 3;    5 es mayor que 3.

3 < 5;    3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Operaciones con números naturales

Suma de números naturales

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1.Interna: a + b PerteneceConjunto de los números naturales

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

3.Conmutativa: a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4. Elemento neutro: a + 0 = a

3 + 0 = 3

Resta de números naturales

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna

2 − 5 pertenece Números naturales

2. No es Conmutativa

5 − 2 ≠ 2 − 5

Mutiplicación de números naturales

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Interna: a · b PerteneceConjunto de los números naturales

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

3. Conmutativa: a · b = b · a

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

4. Elemento neutro: a · 1 = a

3 · 1 = 3

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

División de números naturales

D : d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la división

1.División exacta 

División exacta          15 = 5 · 3

2. División entera

División entera            17 = 5 · 3 + 2

3. No es una operación interna

2 : 6 pertenece Números naturales

4. No es Conmutativo.

6 : 2 ≠ 2 : 6

5. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

6. No se puede dividir por 0.

Propiedades de las potencias

1.a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n

25 · 22 = 25+2 = 27

4. Cocointe de potencias con la misma base: am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n  

(25)3 = 215 

6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b) n

23 · 43 = 83

7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n

63 : 33 = 23

Ejercicios de potencias

1 33 · 34 · 3 = 38

2 57 : 53 = 54

3 (53)4 = 512

4 (5 · 2 · 3) 4 = 304

5(34)4 = 316

6 [(53)4]2 = (512)2 = 524

7 (82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218

8 (93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312

9 25 · 24 · 2 = 210

10 27 : 26 = 2

11 (22)4 = 28

12 (4 · 2 · 3)4 = 244

13(25)4 = 220

14 [(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1

15 (272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330

16 (43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212

Propiedades de las raíces

1.Raíz exacta: Radicando= (Raíz)2    

raíz cuadrada exacta

2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)2 + Resto

raíz cuadrada exacta

Prioridades en las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..

2º.Calcular las potencias y raíces.

3º.Efectuar los productos y cocientes.

4º.Realizar las sumas y restas.

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes.

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 26

2. Operaciones combinadas con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:

= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los corchetes.

= 12 · 7 − 3 + 2

Multiplicamos.

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos.

= 83

Ejercicios de operaciones combinadas con números naturales

1 27 + 3 · 5 – 16 =

27 + 3 · 5 – 16 = 27 + 15 − 16 = 26

2 27 + 3 – 45 : 5 + 16=

27 + 3 – 45 : 5 + 16 = 37

3 (2 · 4 + 12) (6 − 4) =

(2 · 4 + 12) (6 − 4) = (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40

4 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =

3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 = 27 + 8 – 3 = 32

5 2 + 5 · (2 ·3)³ =

2 + 5 · (2 ·3)³ = 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1080 = 1082

6 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =

440 − [30 + 6 (19 − 12)] = 440 − (30 + 6 · 7)] = 440 − (30 + 42) =

= 440 − (72) = 368

7 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =

= 2{4[7 + 4 (15 − 9)] − 3 (40 − 8)}=

= 2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=

2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56

87 · 3 + [ 6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · raíz] + 9 : 3 =

= 7 · 3 + [ 6 + 2 · (8 : 4 + 3 · 2) – 7 · 2 ] + 9 : 3 =

= 21 + [ 6 + 2 · (2+ 6) – 14] +3 =

= 21 + ( 6 + 2 · 8 – 14) +3 =

= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 =

= 21 + 8 + 3 = 32


Ejercicios y problemas resueltos de números naturales






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