Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

Diferencia

d = an - an-1

Término general de una progresión aritmética

an = a1 + (n - 1) · d

an = ak + (n - k) · d

Interpolación de términos

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolación

Suma de términos equidistantes

ai + aj = a1 + an

Suma de términos equdistantes

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an

Suma de n términos consecutivos

Suma de n términos


Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

razón

Término general de una progresión geométrica

an = a1 · rn-1

an = ak · rn-k

Interpolación de términos

Interpolar

Suma de n términos consecutivos

suma de n términos consecutivos

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Producto de dos términos equidistantes

ai . aj = a1 . an

Suma de términos equdistantes

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

Producto de n términos equidistantes

Producto de n términos equidistantes


Ejercicios

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

a 4 = 10;          a 6 = 16

 a n = a k + (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d;        d= 3

a1= a4 - 3d;

a1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...


Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

Interpolación

8,    3, -2, -7 ,    -12.


El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

a 1 = − 1;          a 15 = 27;      

a n = a 1 + (n - 1) · d

27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195


Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

360= ( a1 + a4) · 4/2

a4= a1 + 3 · 25

360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2

a1 = 105/2 = 52º 30'      a2 = 77º 30'

a3 = 102º 30'                a4 = 127º 30'


El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

a2 = 8 + d;            a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

d = 8

8, 16, 24.


Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 311/2.

Término central flecha x

flecha x - d

flecha x + d.

x − d + x + x + d = 27

x = 9

(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511 / 2

d = ± 5 / 2

13 / 2, 9, 23/2

23 / 2, 9, 13/2


El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.

a2= 6;                 a5= 48;        

 an = ak · r n-k

48 = 6 r5-2 ;          r3 = 8;                r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3

3, 6, 12, 24, 48, ...


El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.

a 1 = 3;                 a 8 = 384;   

   razón              suma de n términos consecutivos           Producto de n términos equidistantes

384 = 3 · r8-1 ;       r7 = 128;        r7 = 27;      r= 2.

S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765

Producto


Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

a = 3;        b = 48;        

  Interpolar

Interpolar

3,     6, 12, 24,    48


Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.

a1= 1       r= 2;         n = 20;        suma de n términos consecutivos

S= (1 · 220-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 € .

Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.

cuadrado

lados y áreas

lados y áreas

suma







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