Sucesiones

Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término general

an= 2n-1

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Sucesión de Fibonacci

Sucesiones estrictamente crecientes

an+1 > an

Sucesiones crecientes

an+1 ≥ an

Sucesiones estrictamente decrecientes

an+1 < an

Sucesiones decrecientes

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes

an= k

Sucesiones acotadas inferiormente

an ≥ k

Sucesiones acotadas superiormente

an ≤ k'

Sucesiones acotadas

k ≤ an ≤ K'

Operaciones con sucesiones

Suma con sucesiones:

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

Diferencia con sucesiones:

(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto con sucesiones:

(an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

Sucesión inversible

Inversible

Cociente

Cociente


Ejercicios

Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8= -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13


3, 6, 12, 24, 48, ...

6 / 3 = 2

12 / 6 = 2

24 / 12 = 2

48 / 24 = 2

r= 2.

an = 3· 2 n-1


4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

22, 32, 42, 52, 62, 72, ...

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.

bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1

Por lo que el término general es:

an= (n + 1)2


5, 10, 17, 26, 37, 50, ...

22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...

Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.

an= (n + 1) 2 + 1


6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ...

an= (n + 1)2 - 1


3, 8, 15, 24, 35, 48, ...

22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ...

an= (n + 1)2 - 1

2, 7, 14, 23, 34, 47, ...

22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ...

an= (n + 1) 2 - 2


-4, 9, -16, 25, -36, 49, ...

an= (-1)n (n + 1)2


4, -9, 16, -25, 36, -49, ...

an= (-1)n-1 (n + 1)2


2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

Tenemos dos sucesiones:

2, 5, 8, 11, 14, ...

4, 9, 16, 25, 36, ...

La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.

an= (3n - 1)/(n + 1) 2


10  Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 2.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Cálculo del término general de una sucesión


Estudia la monotonía y las cotas:

1 Monotonia

Monotonía

3, 4/3, 1, 6/7,...

La sucesión va decreciendo.

monotonía

monotonía

monotonía

monotonía

monotonía

Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.

Es monotona estrictamente decreciente.

Límite

a1= 3

a3= 1

a1000= 0.5012506253127

a1000 000 = 0.5000012500006

El límite es 0.5

Sucesión convergente

Cotas

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.

0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada.

1/2 < an 3


2 Monotonia y cotas

Monotonia y cotas

Monotonía

Cada término es mayor que la anterior.

monotonía

monotonía

monotonía

monotonía

monotonía

Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.

Es monotona estrictamente creciente.

Límite

a1= 0.5

a3= 0.6666

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1

Sucesión convergente

Cotas

Por ser creciente, 1/2 es una cota inferior, el mínimo.

1 es una cota superior, el supremo. o extremo superior.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 ≤ an < 1