Límites de funciones

Límite de una función en un punto

Límite finito

Concepto de límite

Límite infinito

Límite infinito positivo

Límite menos infinito

Límite infinito negativo

Límites laterales

Límicte por la izquierda

Límite por la derecha

Límites en el infinito

Límite cuando x tiende a infinito

Lïmites cuando x tiende a más infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito

Límites cuando x tiende a menos infinito

Operaciones con límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Operaciones con infinito y cero

Infinito más un numero

Infinito más infinito

Infinito menos infinito


Infinito por un numero

Infinito por infinito

Infinito por cero


Cero partido por un numero

Un numero partido por cero

Un numero partido por infinito

Infinito partido por un numero

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito


Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero  elevado a un númerO

Un numero partido por infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito


No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

La regla de los signos y que a-n = 1/a n

Comparación de infinitos

1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

infinito de orden superior

infinito de orden superior

2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:

infinito de orden inferior

infinito de orden inferior

2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

infinito de igual orden


Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

Cálculo de límites

Límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

límite

Límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe

Límite cuando x tiende a infinito

Para calcular el límite de una función cuando x tiende ∞ se sustituyen las x por ∞.

Funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x tiende ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Inversa de un polinomio en el infinito

Límite de la inversa de un polinomio en el infinito.

Límite cuando x tiende a menos infinito

Cálculo de límites cuando x tiende a -∞

Límite de la función exponencial

Si a > 0

límite

límite

Si 0 < a < 1

límite

límite

Límite de la función logarítmica

Si a > 0

límite

límite

Si 0 < a < 1

límite

límite

Indeterminaciones

Infinito partido infinito

1. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente o aplicamos la siguiente regla práctica:

1 Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

2 Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ±∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

3 Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.

2. Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

3. Por comparación de infinitos.

Infininito menos infinito

1. Por comparación de infinitos.

2. Con funciones racionales ponemos a común denominador, y obtenemos Infinito partido infinito. Resolvemos esta indeterminación.

Cero partido cero

1. Función racional sin radicales:

Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

2. Función racional con radicales:

En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional.

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.

Cero por infinito

Se transforma a Infinito partido infinito ó a Cero partido por cero

Transformaciones

Uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.

Expresión del número e

Cálculo abreviado de uno elevado ainfinito






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