Estudio de funciones


Dominio de una función

D = {x pertenece R / exixte f (x)}

Cálculo del dominio de una función

Función polinómica

D = R

Función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador.

Función radical de índice impar

D = R

Función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Función exponencial

D = R

Función seno

D = R

Función coseno

D = R

Función tangente

Tangente

Tangente

Función cotangente

Cotangente

Cotangente

Función secante

Tangente

Tangente

Función cosecante

Cotangente

Cotangente

Dominio de operaciones con funciones

Dominio de operaciones de funciones

Dominio de operaciones de funciones

Simetría

Simetría respecto del eje de ordenadas

Función par

f(-x) = f(x)

Simetría respecto al origen

Función impar

f(-x) = -f(x)

Periodicidad

función periódica

Si f es periódica de período T, también lo es f(mx +n), y su período es T/m.

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos f(x) = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

Punto de corte con el ejes OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

Asíntotas

Asíntotas horizontales

Asintota horizontal

Asíntotas verticales

Asintotas verticales

Asíntotas oblicuas

Asintota oblicua

Asintota oblicua

Ramas parabólicas

Hay ramas parabólicas si:

límites

Rama parabólica en la dirección del eje OY

Ramas parabólicas

Rama parabólica en la dirección del eje OX

Ramas parabólicas

Crecimiento y decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:

1. Derivar la función:

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Máximos y mínimos relativos

Para hallar los extremos relativos seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente.

2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Concavidad y convexidad

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

4. Escribimos los intervalos:

Puntos de inflexión

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:

Un punto de inflexión en el punto, de la función, en los puntos en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

Ejercicios resueltos del dominio de una función

Ejercicios resueltos de simetría de las funciones

Ejercicios resueltos de puntos de corte con los ejes

Ejercicios resueltos de asíntotas

Ejercicios resueltos de ramas parabólicas

Ejercicios resueltos de crecimiento y decrecimiento

Ejercicios resueltos de máximos y mínimos

Ejercicios resueltos de concavidad y convexidad

Ejercicios resueltos de puntos de inflexión

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

Problemas resueltos de optimización