Discusión de sistemas

1. Hallamos el rango de la matriz de los coefecientes.

2. Calculamos el rango de la matriz ampliada.

3. Aplicamos el teorema de Rouché.

  • r = r'               Sistema Compatible.
    • r = r'= n   Sistema Compatible Determinado.
    • r = r'≠ n   Sistema Compatible Indeterminado.
  • r ≠ r'               Sistema Incompatible.

4. Si el sistema es compatible determinado se resuelve por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

5. Si el sistema es compatible indeterminado se resuelve teniendo en cuenta que :

El número de ecuaciones = rango

El número de parámetros = nº de incógitas menos el rango

Sistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo .

Admiten la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Ejercicios

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

sistema

1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.

rango

rango

r(A) = 3

2. Hallamos el rango de la matriz ampliada

matriz

determinante

r(A') = 3

3. Aplicamos el teorema de Rouché.

teorema de Rouché

teorema de Rouché

4. Se resuelve el sistema, si éste no es incompatible, por la regla de Cramer o por el método de Gauss

Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3, que tiene rango 3, y lo resolvemos.

regla de Cramer

regla de Cramer

regla de Cramer


Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

sistema

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión


Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

sistema

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión


Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

sistema

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión

Discusión


Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

sistema

1. Hallamos el rango de la matriz de los coefecientes.

matriz

matriz

matriz

matriz

2. Hallamos el rango de la matriz ampliada.

matriz

rango

3. Aplicamos el teorema de Rouché

Rouché

Rouché

4. Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

sistema

sistema

solución


Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema