Sistemas de ecuaciones


Resolver un sistema de ecuaciones consite en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.

Estudiaremos la resolución de los siguientes tipos de sistemas:

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Sistemas de ecuaciones no lineales.

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

sistema

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

despejar

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

ecuación

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

ecuación ecuación

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

solución

5 Solución

solución


Método de igualación

1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

sistema

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

despejar

despejar

2 Igualamos ambas expresiones:

ecuación

3 Resolvemos la ecuación:

ecuación

ecuación

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

solución

5 Solución:

solución


Método de reducción

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.


Ejemplo

sistema

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

sistema

Restamos y resolvemos la ecuación:

operaciones

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

solución

Solución:

solución


Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Método de Gauss

Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

Encontrar las soluciones.


Ejemplo

sistema

Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

sistema

Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

sistema

Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

sistema

sistema

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

sistema

Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

sistema

Encontrar las soluciones.

z = 1

− y + 4 ·1 = −2        y = 6

x + 6 −1 = 1          x = −4


Sistemas de ecuaciones no lineales

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

Se resuelve la ecuación resultante.

Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.


Ejemplo

sistema

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x2 + (7 − x)2 = 25

Se resuelve la ecuación resultante.

x2 + 49 − 14x + x2 = 25

2x2 − 14x + 24 = 0

x2 − 7x + 12 = 0

solución

Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3           y = 7 − 3        y = 4

x = 4           y = 7 − 4        y = 3

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por sustitución

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por igualación

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por reducción

Ejercicios y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss

Ejercicios y problemas resueltos de sistemas no lineales






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