Determinantes

Orden 1

  |a11| = a11

Ejemplo

  |5| = 5

Orden 2

determinante de orden dos = a 11 a 22 - a 12 a 21

Ejemplo

determinante de orden 2

Orden 3

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

positivo

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

negativo


determinante de orden 3=

a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -

- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

Ejemplo

determinante de orden 3 =

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Orden 4

Una de las líneas del determinante tiene que estar formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.

Seguiremos los siguientes pasos:

1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

Determinante de orden 4

2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

Determinante

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

Determinante

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

Operaciones

4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

Adjunto = 2(-58)

Propiedades de los determinantes

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

Determinantes

Determinantes

2. |A|=0    Si:

Posee dos líneas iguales

Determinantes

Todos los elementos de una línea son nulos.

Determinantes

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

Determinantes

F3 = F1 + F2


3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

Determinantes


4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

Determinantes


5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

DETERMINANTE DETERMINANTE


6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

DETERMINANTE


7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

DETERMINANTE


8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.






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