Números complejos

Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es el número i y se designa por la letra i.

i

i

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1


i22

división

i22 = (i4)5 · i2 = − 1

i27 = −i


Números imaginarios

Un número imaginario se denota por bi, donde :

b es un número real.

i es la unidad imaginaria.


Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.


Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.


El conjunto de todos números complejos se designa por complejo.

complejos

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.


Operaciones de complejos en forma binómica

Suma y resta de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i


Multiplicación de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i


División de números complejos

cociente

división


Números complejos en forma polar y trigonométrica

complejo

módulo

|z| = r       arg(z) =alfa          z = rα

complejos.


relaciones

Binómica z = a + bi
Polar z = rα
trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

complejo

módulo

argumento

z = 2120º


z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

a

b

binómica


Números complejos iguales, conjugados y opuestos

gráfica

Iguales

iguales

Conjugados

Conjugados

Opuestos

Opuestos


Operaciones de complejos en forma polar

Multiplicación de complejos en forma polar

producto

645° · 315° = 1860°


Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

rα · 1β = rα + β


División de complejos en forma polar

cociente

645° : 315° = 230°


Potencias de complejos en forma polar

potencia

(230°)4 = 16120°

Fórmula de Moivre

Fórmula de Moivre

Raíz de complejos en forma polar

módulo

argumento

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)


raíz

módulo

módulo

argumento

solución


Ejercicios y problemas resueltos de números complejos




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