El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2 < x < 2        x (−2, 2 )

|x|> 2            x< 2 ó x>2     (−∞ , 2 ) (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

Suma de números reales

Propiedades

1.Interna:

a + b

+

2.Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3.Conmutativa:

a + b = b + a

4.Elemento neutro:

a + 0 = a

+ 0 =

5.Elemento opuesto

e − e = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(− ) =

Diferencia de números reales

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (- b)

Producto de números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

Propiedades

1.Interna:

a · b

2.Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e · ) · = e · ( · )

3.Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

· 1 =1

5. Elemento inverso:

6.Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

· (e + ) = · e + ·

7.Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

· e + · = · (e + )

División de números reales

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Potencias de números reales

Potencias con exponente entero

Con exponente racional o fraccionario

Propiedades

1.a⁰ = 1 ·

2.a¹ = a

3.Producto de potencias con la misma base:

a^m · a ⁿ = a^m+n

(−2)⁵ ·(−2)² = (−2)⁵⁺² = (−2)⁷ = −128

4. División de potencias con la misma base:

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

(−2)⁵ : (−2)² = (−2)^{5 - 2} = (−2)³ = -8

5.Potencia de una potencia:

(a^m)ⁿ=a^{m · n}

[(−2)³]² = (−2)⁶ = 64

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

(−2)³ · (3)³ = (−6)³ = −216

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

(−6)³: 3³ = (−2)³ = −8

Ejercicios de potencias de números reales

Ejercicios y problemas resueltos de números reales